\documentclass{article}
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\usepackage{fontspec}
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\usepackage{amsmath}


% 定义新的带灰色背景的说明环境 zremark
\newmdtheoremenv[
  backgroundcolor=gray!10,
  % 边框与背景一致，边框线会消失
  linecolor=gray!10
]{zremark}{说明}

% 通用矩阵命令: \flexmatrix{矩阵名}{元素符号}{行数}{列数}
\newcommand{\flexmatrix}[4]{
  \[
  #1 = \begin{pmatrix}
    #2_{11}     & #2_{12}     & \cdots & #2_{1#4}   \\
    #2_{21}     & #2_{22}     & \cdots & #2_{2#4}   \\
    \vdots      & \vdots      & \ddots & \vdots     \\
    #2_{#31}    & #2_{#32}    & \cdots & #2_{#3#4}
  \end{pmatrix}
  \]
}

% 简化版命令（默认矩阵名为A，元素符号为a）: \quickmatrix{行数}{列数}
\newcommand{\quickmatrix}[2]{\flexmatrix{A}{a}{#1}{#2}}


\begin{document}
\title{18.5 注释}
\author{张志聪}
\maketitle

\begin{zremark}
  引理18.5.10中，证明：
  \begin{align*}
    g^{-1}((a, +\infty]) = \bigcup\limits_{n \geq 1} f_n^{-1}((a, +\infty])
  \end{align*}
\end{zremark}

\textbf{证明：}

这是上确界函数，书中没找到明确定义的地方，这里先说明一下：

$\sup\limits_{n \geq 1} f_n$ 表示一系列函数${f_n}$（其中 $n \geq 1$）的上确界函数。
具体来说，对于每一个自变量$x$，
这个函数的值是所有函数$f_n$在$x$处的上确界（即最小的上界）。
数学表达式为：
\begin{align*}
  \left( \sup\limits_{n \geq 1} f_n \right)(x) = \sup(f_1(x), f_2(x), \cdots)
\end{align*}

\begin{itemize}
  \item 从右到左

        设任意$x_0 \in g^{-1}((a, +\infty])$，
        那么$g(x_0) \in (a, +\infty]$，
        由上确界函数的定义可知，存在$f_n(x_0) = g(x_0)$，
        从而$g^{-1}((a, +\infty]) \subseteq \bigcup\limits_{n \geq 1} f_n^{-1}((a, +\infty])$。

  \item 从左到右

        设任意$x_0 \in \bigcup\limits_{n \geq 1} f_n^{-1}((a, +\infty])$，
        那么存在某个$n$，使得$f_n(x_0) \in (a, +\infty]$，
        于是我们有
        \begin{align*}
          g(x_0) \geq f_n(x_0) > a
        \end{align*}
        所以$x_0 \in g^{-1}((a, +\infty])$，
        从而$\bigcup\limits_{n \geq 1} f_n^{-1}((a, +\infty]) \subseteq g^{-1}((a, +\infty])$。
\end{itemize}

% \begin{zremark}
%   令$g = \inf\limits_{n \geq 1} f_n$，证明:
%   \begin{align*}
%     g^{-1}((a, +\infty]) = \bigcup\limits_{n \geq 1} f_n^{-1}((a, +\infty])
%   \end{align*}
% \end{zremark}

% \textbf{证明：}

% % 我们可以使用引理18.5.8（准确的说是$(-\infty, a)$的版本），然后

% \begin{itemize}
%   \item 从右到左

%         设任意$x_0 \in g^{-1}((a, +\infty])$，
%         那么$g(x_0) \in (a, +\infty]$，
%         由上确界函数的定义可知，存在$f_n(x_0) = g(x_0)$，
%         从而$g^{-1}((a, +\infty]) \subseteq \bigcup\limits_{n \geq 1} f_n^{-1}((a, +\infty])$。

%   \item 从左到右

%         设任意$x_0 \in \bigcup\limits_{n \geq 1} f_n^{-1}((a, +\infty])$，
%         那么存在某个$n$，使得$f_n(x_0) \in (a, +\infty]$，
%         于是我们有
%         \begin{align*}
%           g(x_0) \leq f_n(x_0)
%         \end{align*}
%         所以$x_0 \in g^{-1}((a, +\infty])$，
%         从而$\bigcup\limits_{n \geq 1} f_n^{-1}((a, +\infty]) \subseteq g^{-1}((a, +\infty])$。
% \end{itemize}


\begin{zremark}
  引理18.5.10，$f_n$逐点收敛于函数$f$时，$f$是可测的。
\end{zremark}

\textbf{证明：}

只需证明$f = \inf\limits_{N \geq 1} \sup\limits_{n \geq N} f_n = \sup\limits_{N \geq 1} \inf\limits_{n \geq N} f_n$即可。
以$f = \inf\limits_{N \geq 1} \sup\limits_{n \geq N} f_n$为例，$f = \sup\limits_{N \geq 1} \inf\limits_{n \geq N} f_n$证明类似。

$f_n$逐点收敛于函数$f$，
那么对任意$x \in \Omega, \epsilon > 0$，存在$N^\prime \geq 1$使得只要$n \geq N^\prime$就有
\begin{align*}
  |f(x) - f_n(x)| < \epsilon
\end{align*}

于是可得
\begin{align*}
  |f(x) - \sup\limits_{n \geq N^\prime} f_n (x)| \leq \epsilon \\
  |f(x) - \inf\limits_{n \geq N^\prime} f_n (x)| \leq \epsilon 
\end{align*}
因为
\begin{align*}
  \sup\limits_{n \geq N^\prime} f_n (x) \geq \inf\limits_{n \geq N^\prime} f_n (x)
\end{align*}
由$\sup\limits_{n \geq N} f_n (x)$单调递减和$\inf\limits_{n \geq N} f_n (x)$单调递增，
于是有，
\begin{align}
  \inf\limits_{N \geq 1} \sup\limits_{n \geq N} f_n(x) \leq \sup\limits_{n \geq N^\prime} f_n (x) \\
  \inf\limits_{n \geq N^\prime} f_n (x) \leq \sup\limits_{N \geq 1} \inf\limits_{n \geq N} f_n(x) 
\end{align}
利用引理6.4.13（比较原理）可知
\begin{align*}
  \sup\limits_{N \geq 1} \inf\limits_{n \geq N} f_n(x) \leq \inf\limits_{N \geq 1} \sup\limits_{n \geq N} f_n(x)
\end{align*}
结合(1)(2)式，我们有
\begin{align*}
  \inf\limits_{n \geq N^\prime} f_n (x) \leq  \inf\limits_{N \geq 1} \sup\limits_{n \geq N} f_n(x) \leq \sup\limits_{n \geq N^\prime} f_n (x)
\end{align*}
综上可得
\begin{align*}
  |f(x) - \inf\limits_{N \geq 1} \sup\limits_{n \geq N} f_n(x)| \leq \epsilon 
\end{align*}
所以由$x, \epsilon$的任意性可知，$f = \inf\limits_{N \geq 1} \sup\limits_{n \geq N} f_n$。

\end{document}